je vais aller me coucher tôt

Anne,

‘ aller se coucher ‘ is colloquial French and equivalent to the English ‘ (to be) going to bed ‘, and the future proche ‘ aller aller se coucher ‘ is equivalent to ‘ (to be) going to go to bed ‘, which is the sentence in the exercise.

Interestingly in both languages these common expressions have repeated verb use ‘ aller ‘ in French and ‘ go ‘ in English.

The following link 

 https://progress.lawlessfrench.com/questions/view/se-coucher-va-se-coucher 

and the response below of 1 of the AI bots ( which agrees well with the link and the discussion with my personal native speaker reference ) may be helpful as well : 

Aller se coucher » désigne l'action d'aller au lit pour dormir.

 « Se coucher » décrit l'instant précis où l'on s'allonge pour entamer sa nuit. En pratique, ces deux expressions sont souvent interchangeables dans la langue courante pour parler de son intention d'aller dormir. [1, 2]

Aller se coucher : Cette expression insiste sur le processus et le déplacement (quitter son canapé, monter dans sa chambre, etc.). On l'utilise fréquemment pour annoncer que l'on va s'endormir : « Je suis très fatigué, je vais aller me coucher. » [1, 2]

Se coucher : Ce verbe pronominal se concentre sur l'état ou l'action de s'allonger dans le lit. Il est très utile pour exprimer des habitudes ou des faits généraux : « En semaine, je me couche à 23 heures. » [1, 2]

1. "je vais aller me coucher": This seems to be correct as well. See for example the following headline from the newspaper "Le Figaro".
"«Moi je vais aller me coucher...» : Joe Biden répond de manière confuse lors d’une conférence de presse, son équipe intervient" (https://www.lefigaro.fr/international/moi-je-vais-aller-me-coucher-joe-biden-repond-de-maniere-confuse-lors-d-une-conference-de-presse-son-equipe-intervient-20230912)

2. I think the hint is correct but the answer is not, at least according to the "Académie Française":

https://www.dictionnaire-academie.fr/article/A9L0642:
"Leur reste au singulier si plusieurs personnes possèdent communément un même objet, ou si l’on considère que chacun possède un seul objet séparément ; il se met au pluriel lorsque chaque personne possède plusieurs objets.

Ils ont donné leur vie pour leur patrie. Ils acclament leur chef. Ils ont ramassé leurs affaires. Ils ont pris leur chapeau et leur manteau."

However, it seems even famous authors do not respect this rule:

Again from the site of the "Académie Française"

https://www.dictionnaire-academie.fr/article/QDL045:

"Leur chapeau ou leurs chapeaux ?

L’usage des meilleurs auteurs hésite entre le singulier et le pluriel (pour le nom et pour le possessif) lorsqu’un nom désigne une réalité dont plusieurs « possesseurs » possèdent chacun un exemplaire : on considère tantôt l’exemplaire de chacun, tantôt l’ensemble des exemplaires. Ainsi : « Mes compagnons, ôtant leur chapeau goudronné […] » (Chateaubriand) ; « Les deux lords […] ôtèrent leurs chapeaux » (Hugo) ; « trois avaient déjà retrouvé leur femme » (Chamson) ; « deux de mes amis et leurs femmes » (Arland)."

One would assume that each of his two friends has only one spouse. :-)

In case my original post was unclear

1. Is je vais aller me coucher just a fixed phrase, used rather than je vais me coucher? 

2. My view was that leur chambre was right (as in the hint) rather than the "correct" answer provided, leurs chambres.

Anne, 

I didn’t answer the 2nd part of your questions but agree that as each has only 1 bedroom, ‘ leur chambre ‘ is correct.